Jak oblicza się średnią ważoną?

Średnia ważona – coś więcej niż zwykła średnia

W życiu codziennym często spotykamy się z pojęciem średniej arytmetycznej – sumujemy wartości i dzielimy przez ich liczbę. Jednakże w wielu sytuacjach taka prosta średnia nie oddaje pełnego obrazu. Wtedy z pomocą przychodzi średnia ważona, która uwzględnia znaczenie, czyli wagę, poszczególnych elementów. Zrozumienie jej obliczenia jest kluczowe w różnych dziedzinach, od finansów po statystykę.

Wyobraźmy sobie prosty przykład: prowadzisz sklep owocowy i sprzedajesz jabłka po 3 zł/kg, gruszki po 4 zł/kg i śliwki po 2 zł/kg. Sprzedałeś 10 kg jabłek, 5 kg gruszek i 15 kg śliwek. Chcesz obliczyć średnią cenę sprzedaży owoców. Zwykła średnia arytmetyczna (3+4+2)/3 = 3 zł/kg jest myląca, ponieważ nie uwzględnia różnej ilości sprzedanych owoców.

Średnia ważona pozwala rozwiązać ten problem. W tym przypadku:

• Wartości: 3 zł/kg (jabłka), 4 zł/kg (gruszki), 2 zł/kg (śliwki)
• Wagi: 10 kg (jabłka), 5 kg (gruszki), 15 kg (śliwki)

Obliczenie wygląda następująco:

1. Mnożymy każdą wartość przez jej wagę:

   • Jabłka: 3 zł/kg * 10 kg = 30 zł
   • Gruszki: 4 zł/kg * 5 kg = 20 zł
   • Śliwki: 2 zł/kg * 15 kg = 30 zł

2. Sumujemy iloczyny: 30 zł + 20 zł + 30 zł = 80 zł

3. Sumujemy wagi: 10 kg + 5 kg + 15 kg = 30 kg

4. Dzielimy sumę iloczynów przez sumę wag: 80 zł / 30 kg = 2,67 zł/kg

Średnia ważona cena sprzedaży owoców wynosi zatem 2,67 zł/kg. To znacznie dokładniej odzwierciedla rzeczywistą średnią cenę, uwzględniając ilość sprzedanych owoców każdego rodzaju.

Ogólny wzór na średnią ważoną:

Średnia ważona = (w₁x₁ + w₂x₂ + … + wₙxₙ) / (w₁ + w₂ + … + wₙ)

Gdzie:

• x₁, x₂, …, xₙ to poszczególne wartości
• w₁, w₂, …, wₙ to odpowiadające im wagi

Zastosowanie średniej ważonej wykracza daleko poza przykłady z handlem. Jest ona wykorzystywana w:

• Obliczaniu średniej ocen: gdzie wagi mogą być wagami poszczególnych przedmiotów w szkole.
• Analizie portfela inwestycyjnego: gdzie wagi reprezentują udziały poszczególnych aktywów.
• Obliczaniu średniej ważonej stopy zwrotu: w finansach, uwzględniając wagi poszczególnych inwestycji.
• Statystyce: do agregacji danych, gdzie niektóre obserwacje są ważniejsze od innych.

Podsumowując, średnia ważona jest potężnym narzędziem, które pozwala na precyzyjniejsze analizy danych niż zwykła średnia arytmetyczna, szczególnie wtedy, gdy poszczególne elementy posiadają zróżnicowane znaczenie. Rozumienie jej działania jest kluczowe dla poprawnej interpretacji danych w wielu dziedzinach życia.